<label>
  <input type="radio" name="field-value-1359303" value="Вася">Вася
</label>

<template id="myContent">
  <div>
    <h3>My</h3>
    <p>Content</p>
  </div>
</template>

<div><button type="button">Заменить</button></div>

const replaceText = element => {
  const { childNodes } = element;
  const replacement = document.getElementById('myContent').content;
  
  // перед INPUT'ом есть ещё один текстовый узел: перенос строки и пробел
  let isAfterInput = false;
  for (let i = 0; i < childNodes.length; i++) {
    const node = childNodes[i];
    if (node.nodeName === '#text') {
      if (isAfterInput) {
        node.parentNode.replaceChild(replacement, node);
      }
    } else if (node.nodeName === 'INPUT') {
      isAfterInput = true;
    }
  }
}

document.querySelector('button')
  .addEventListener('click', () => {
    replaceText(document.querySelector('label'));
  });